\documentclass[11pt]{revtex4}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{epstopdf}
\usepackage{bm}
\usepackage{color}
%\usepackage{multicol}
\DeclareGraphicsRule{.tif}{png}{.png}{`convert #1 `dirname #1`/`basename #1 .tif`.png}


%\date{}                                           % Activate to display a given date or no date


\begin{document}
\title{Probabilities...}
\maketitle
\underline{Hypothèse de calcul: } $\delta P >0$.  \\
La pression est $P(t) = P^{\star} +\delta P\left(1- \cos{\left(\omega \left(t-t_{0}\right) \right)} e^{-k\left(t-t_{0}\right)}\right)$\\
Nous cherchons à calculer la différence de pression: $\Delta P(t)= P(t)-P_{V}$
$$
\Delta P(t) = P^{\star} -P_{V}+\delta P\left(1-\cos{\left(\omega\left(t-t_{0}\right)\right)}e^{-k(t-t_{0})}\right)
$$
$$
\Rightarrow \Delta P(t) = \left(P^{\star}-P_{V}\right)\left(1+\dfrac{\delta P}{P^{\star}-P_{V}}\left(1-\cos{\left(\omega\left(t-t_{0}\right)\right)}e^{-k(t-t_{0})}\right)\right)
$$
Nous posons $\alpha = -\dfrac{\delta P}{P^{\star}-P_{V}}$. La différence de pression devient : 
$$
\Delta P(t) = \left(P^{\star}-P_{V}\right)\left(1-\alpha\left(1-\cos{\left(\omega \left(t-t_{0}\right)\right)}e^{-k(t-t_{0})}\right)\right)
$$

L'hypothèse de calcul est que $\delta P >0$. Donc $\alpha >0 $. Pour cela, on a un maximum pour les n pair et un minimum pour les n impairs. Chaque maximum est séparé de l'autre de $2\pi$. \\
 
L'intégrale de $0$ à $t$ peut être diviser en deux intégrales en utilisant la relation de Chasles. 
En effet, pour des temps $t < t_{0}$, la différence de pression $\Delta P(t) = P^{\star} -P_{V}$. Le temps $t_{0}$ correspond au temps dont l'onde, émise lors de la formation de la bulle dans l'autre cellule, a eu besoin pour arriver à la cellule à laquelle nous nous intéressons. A partir de $t_{0}$, c'est-à-dire pour des temps $t > t_{0}$, on retrouve la différence de pression: $\Delta P(t) = \left(P^{\star}-P_{V}\right)\left(1-\alpha\left(1-\cos{\left(\omega \left(t-t_{0}\right)\right)}e^{-k(t-t_{0})}\right)\right)$. L'intégrale à calculer devient alors :
\begin{eqnarray}
\Lambda(t) =\lambda_{0} \int_{0}^{t_{0}} e^{\zeta} du+\lambda_{0} \int_{t_{0}}^{t} \exp{\left(-\dfrac{\zeta}{\left(1-\alpha\left(1-\cos{\left(\omega \left(u-t_{0}\right)\right)}\right)e^{-k(u-t_{0})}\right)^2}\right)}du
\end{eqnarray} 
Nous remarquons qu'il est possible de faire un changement de variable. En effet si nous posons que $x = u-t_{0}$, l'intégrale devient : 
\begin{eqnarray}
\Lambda(t) = \Lambda_{0}+\lambda_{0} \int_{0}^{t-t_{0}} \exp{\left(-\zeta f(x)\right)} dx 
\end{eqnarray}
où $$\Lambda_{0} = \lambda_{0} \int_{0}^{t_{0}} e^{\zeta} du = \lambda_{0}t_{0}e^{\zeta}$$ 
et $$\zeta = \dfrac{16\pi \gamma^{3}}{3k_{B}T\left(P^{\star}-P_{V}\right)^2}~et~f(x) =  -\dfrac{1}{\left(1-\alpha\left(1- \cos{\left(\omega x\right)}e^{-k x}\right)\right)^2}$$
Afin de calculer analytiquement cette intégrale, nous pouvons utiliser la méthode des points cols. Pour cela, nous avons besoin que la fonction en exposant admet un unique maximum sur le domain d'intégration. Or nous remarquons que la fonction à plusieurs maximum sur tout le domaine d'intégration. Malgré cela nous pouvons, néanmoins nous servir de cette méthode, en découpant le domaine en plusieurs sous-domaines dans lesquels la fonction admettra un seul maximum. Pour cela, il nous faut déterminer les extrémums de la fonction $$-\dfrac{1}{\left(1-\alpha\left(1- \cos{\left(\omega x\right)}e^{-k x}\right)\right)^2}.$$ 

\begin{figure}[h]
\includegraphics[width= 0.5\textwidth]{graphique_1.pdf}
\caption{Courbe représentative de $f(t)$ pour $\alpha=0.5$, $t_{0}=0$, $k=0.1$ et $\omega =1$.  }
\end{figure}

\begin{figure}[h]
   \begin{minipage}[c]{.5\linewidth}
      \includegraphics[width= 0.9\textwidth]{graphique_4.png}
   \end{minipage} \hfill
   \begin{minipage}[c]{.5\linewidth}
      \includegraphics[width= 0.9\textwidth]{graphique_3.pdf}
   \end{minipage}
   \caption{Graphique de \textcolor{blue}{$f(t)$} et \textcolor{red}{$e^{f(t)}$} avec $\alpha = 0.3$, $\omega = 0.3$, $t_{0}=0$, $k=0.01$ et $\zeta = 0.1$}
\end{figure}

En effet, dérivons cette fonction pour en déduire les extréma. 

Soit $f(x)$ la fonction : $f(x) =  -\dfrac{1}{\left(1-\alpha\left(1- \cos{\left(\omega x \right)}e^{-k x}\right)\right)^2}$. \\

Sa dérivée est : 
$$
\partial_{x} f(x) = -2\alpha e^{-k x} \dfrac{\omega \sin{\left(\omega x \right)}+k\cos{\left(\omega x\right)}}{\left(1-\alpha\left(1- \cos{\left(\omega x\right)}e^{-kx}\right)\right)^3}
$$
Les extréma sont alors : 
$$
\omega x^{\star}_{2n} = n\pi-2\arctan{\left[\dfrac{k}{\omega +\sqrt{\omega^{2}+k^{2}}}\right]}
$$

En plus d'un autre changement de variable $X = \omega x$, et de la méthode des points cols, la valeur de $\Lambda(t)$ est : 
\begin{eqnarray}
\Lambda(t) = \Lambda_{0}+\lambda_{0} \sum_{n=0}^{N}\dfrac{e^{\zeta g(X^{\star}_{2n})}}{\omega}\int_{X^{\star}_{2n-1}}^{X^{\star}_{2n+1}}\exp{\left[\dfrac{\zeta}{2}\left(X-X^{\star}_{2n}\right)^2\left(\dfrac{\partial^2 g}{\partial X^2}\right)_{X=X^{\star}_{2n}}\right]}dX
\end{eqnarray}
où :
\begin{description}
\item $g(X) = f\left(\dfrac{X}{\omega}\right)$: la nouvelle fonction dû au changement de variable.
\item $X^{\star}_{2n} = \omega x^{\star}_{2n}$: le maximum de la fonction $f(t)$. 
\item $X^{\star}_{2n+1} = \omega x^{\star}_{2n+1}$: le premier minimum de la fonction $f(t)$. 
\item $X^{\star}_{2n-1} = \omega x^{\star}_{2n-1}$: le deuxième minimum de la fonction $f(t)$. 
\end{description}

\end{document}


\nonumber
\Lambda(t) &=& \lambda_{0} \int_{0}^{t_{0}} \exp{\left[\zeta f(u)\right]} du + \lambda_{0} \int_{t_{0}}^{t} \exp{\left[\zeta f(u)\right]} du \\
\nonumber
\Lambda(t) &=& \lambda_{0} \int_{0}^{t_{0}}\exp{\left[\zeta f(u)\right]}du + \lambda_{0} \int_{t_{0}}^{t}\exp{\left[\zeta f(u)\right]}du
